Question

已知函書(shū)f（x）=2x²+k|x-1|（k∈R）
（1）若k=-1，求方程f（x）=4的實(shí)數(shù)解；
（2）若k=6，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）若f（x）的最小值是f（1）=2，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4，再將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類(lèi)討論，解方程即可；
（2）若k=6，將函數(shù)化簡(jiǎn)，f（x）=2x²+6|x-1|=

2x2+6x-6，x≥1 2x2-6x+6，x＜1

，分別利用配方法，即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）；
（3）由（2）分析知，函數(shù)在（-∞，1）上為單調(diào)減函數(shù)；函數(shù)在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，將函數(shù)化簡(jiǎn)f（x）=2x²+k|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得-

k

4

≤1且

k

4

≥1，從而可求k的范圍．

解答：解：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4
當(dāng)x≥1時(shí)，方程可化為（x+1）（2x-3）=0，∴x=

3

2

；
當(dāng)x＜1時(shí)，方程可化為2x²+x-5=0，∴x=

-1- 41

4

（2）若k=6，則函數(shù)f（x）=2x²+6|x-1|=

2x2+6x-6，x≥1 2x2-6x+6，x＜1

∵2x2+6x-6=2(x+

3

2

)2-

21

2

，∴函數(shù)在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
∵2x2-6x+6=2(x-

3

2

)2+

3

2

，∴函數(shù)在（-∞，1）上為單調(diào)減函數(shù)；
∴k=6時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）
（3）由（2）分析知，函數(shù)在（-∞，1）上為單調(diào)減函數(shù)；函數(shù)在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)
∵f（x）=2x²+k|x-1|=

2x2+kx-k，x≥1 2x2-kx+k，x＜1

∴-

k

4

≤1且

k

4

≥1
∴k≥4

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查方程的解，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是利用零點(diǎn)將絕對(duì)值符號(hào)化去，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．