Question

已知f（x）=x³+bx²+cx-b（b＜0）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若f（x）的圖象上在兩點(diǎn)A（m，f（m））、B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，在f（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)M，使得f（x）在點(diǎn)M的切線斜率為2b？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性，知x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，從而可得結(jié)論；
（II）確定A，B為f（x）的極值點(diǎn)，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（III）先確定-6≤b≤-3，再假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使得f（x）在M處切線斜率為2b，則f'（x₀）=2b，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性，
知x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x²+2bx=0，∴x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．…（4分）
∵f（x）的圖象上在兩點(diǎn)A（m，f（m））、B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，
∴A，B為f（x）的極值點(diǎn)．…（5分）
則m=0，n=-

2

3

b(b＜0)．…（6分）
又f(0)=-b，f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b
若f（x）在[0，-

2

3

b]上存在零點(diǎn)．
∵f（0）=-b＞0，
則f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b≤0．…（7分）
∵b＜0，∴

4

27

b2≥1，b2≥

27

4

，∴b≤-

3 3

2

．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符號(hào)，…（9分）
∴2≤-

2

3

b≤4，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使得f（x）在M處切線斜率為2b，
則f'（x₀）=2b，即3x²₀+2bx₀-2b=0，…（11分）
△=4b²+24b=4（b²+6b）=4（b+3）²-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
當(dāng)b=-6時(shí)，△=0，
由3x02-12x0+12=0得x0=2，
故存在這樣點(diǎn)M，坐標(biāo)為（2，-10）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．