Question

已知函數(shù)f（x）=|x|，g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g（x）=x（x+1），則方程f（x）+g（x）=1有

 

個實根（若有相同的實根，算一個）．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出函數(shù)g（x）的解析式，原方程的實數(shù)根即 g（x）=1-f（x）的根，本題即求函數(shù) y=g（x）和 y=1-f（x）的圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，得出結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=|x|，g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g（x）=x（x+1），
設 x≥0，則-x≤0，g（-x）=-x（-x+1）=x（x-1）=-g（x），∴g（x）=x（1-x）．
綜上，g（x）=

x(x+1) ，x＜0 x(1-x)  ， x≥0

，方程f（x）+g（x）=1的根，即 g（x）=1-f（x）的根，
即函數(shù) y=g（x）和 y=1-|x|的圖象的交點個數(shù)，顯然，兩個函數(shù)的圖象有2個交點，如圖所示：
故答案為 2．

點評：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，方程根的個數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．