Question

已知拋物線C：y²=ax（a＞0），拋物線上一點N(x0， 2

2

) (x0＞1)到拋物線的焦點F的距離是3．
（1）求a的值；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線C于A、B兩點．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）點N(x0， 2

2

)到焦點的距離就是到準(zhǔn)線的距離，再利用N(x0， 2

2

)在拋物線上，即可求a的值；
（2）（i）直線l的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求AB的長；
（ⅱ）設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個交點為G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）點N(x0， 2

2

)到焦點的距離就是到準(zhǔn)線的距離，
∴x0+

a

4

=3…（2分）
∵N(x0， 2

2

)在拋物線上得：a•x₀=8…（3分）
∴a²-12a+32=0，a=4（舍）或a=8，
∴x₀=1（舍）或x₀=2…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）直線l的方程為：y=x-4，…（6分）
聯(lián)立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0…（7分）
∴|AB|=

(1+1)2[(x1+x2)2-4x1x2

=4

10

．…（9分）
（ⅱ）設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個交點為G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（11分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…（13分）
當(dāng)a=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2

3

．…（14分）
因此存在直線m：x=3滿足題意                                    …（15分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．