【題目】平面上有奇數(shù)條線段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設(shè)定方向的線段設(shè)定一個(gè)方向，直至某次（甲）設(shè)定后，所有線段各有了一個(gè)方向?yàn)橹?如果最后得到的所有向量之和的模長(zhǎng)不小于原來(lái)每條線段長(zhǎng)，則甲獲勝，否則乙獲勝.問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略？證明你的結(jié)論.
【答案】甲有必勝策略.
【解析】
若只有1條線段，顯然，甲獲勝.
下面設(shè)線段總條數(shù)為
，不妨設(shè)在所給線段
中，
最長(zhǎng).
設(shè)
在上的投影長(zhǎng)度為
，不妨設(shè)，
.
甲可采取如下策略取勝：
首先，任給線段
設(shè)一個(gè)方向，并把余下線段配成
組
，以后，乙每設(shè)定一條線段的方向，甲就設(shè)定同一組另一條線段的方向，并保證對(duì)于
，
與
反向；
與同向.
于是，最后得到的所有向量之和在上的投影長(zhǎng)或其相反數(shù)為
.
故
為投影長(zhǎng)（而非相反數(shù)）且
.
于是，最后所有向量之和的模長(zhǎng)大于或等于，進(jìn)而，大于或等于原來(lái)每條線段長(zhǎng).
因此，甲將獲勝.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】(12分) 由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字。
（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？
（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
（3）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？
（4）組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某品牌經(jīng)銷商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過(guò)6小時(shí)的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：
微信控 | 非微信控 | 合計(jì) | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 56 | 44 | 100 |
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？
（2）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數(shù)；
（3）從（2）中抽取的5位女性中，再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，試求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
參考公式: 
，其中
.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
恒成立，試確定實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）證明：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地
規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知
，
，
，曲線段
是以點(diǎn)
為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在
、
上，且一個(gè)頂點(diǎn)
落在曲線段上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到
）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】有2012位學(xué)者參加某數(shù)學(xué)會(huì)議，他們中有些人相互認(rèn)識(shí)，且滿足：
（1）每個(gè)人至少認(rèn)識(shí)其中的671個(gè)人；
（2）對(duì)于其中任意兩個(gè)人
、
，若、相互不認(rèn)識(shí)，則總可以通過(guò)其他人間接認(rèn)識(shí)，即存在
，使得認(rèn)識(shí)
，
認(rèn)識(shí)
，
認(rèn)識(shí)；
（3）不可以將2012位學(xué)者排成一排，使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識(shí).
證明：可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識(shí)，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，
（1）當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）①證明：當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在
上恰有一個(gè)極值點(diǎn)
；
②求實(shí)數(shù)
的取值范圍，使得對(duì)任意的
，恒有
成立.
注：
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，某班級(jí)建立了數(shù)學(xué)英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組，兩組的人數(shù)如下表所示：
組別 性別 | 數(shù)學(xué) | 英語(yǔ) |
男 | 5 | 1 |
女 | 3 | 3 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試.
（1）求從數(shù)學(xué)組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；
（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中，
為實(shí)參數(shù)．求所有的數(shù)對(duì)
，使得函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)恰好有2011個(gè)零點(diǎn)．
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