Question

已知函數(shù)f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+cos2x
（1）設(shè)ω＞0為常數(shù)，若y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，求ω的取值范圍．
（2）求{m||f（x）-m|＜2成立的條件是

π

6

≤x≤

2π

3

，m∈R}．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)平方關(guān)系求出函數(shù)表達(dá)式的最簡(jiǎn)形式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的子集關(guān)系求出ω的取值范圍．
（2）利用

π

6

≤x≤

2π

3

，|f（x）-m|＜2，推出2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立，求出m的范圍即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+cos2x
=2sinx[1-cos（

π

2

+x）]+cos2x
=2sinx+2sin²x+cos²x-sin²x=1+2sinx…（4分）
由題意需[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]得ω∈(0，

3

4

]…（6分）
（2）由題意當(dāng)

π

6

≤x≤

2π

3

時(shí)，|f（x）-m|＜2，即2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立
解得1＜m＜4…（9分）
∴{m||f（x）-m|＜2成立的條件是

π

6

≤x≤

2π

3

，m∈R}={m|1＜m＜4}…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力．