Question

如圖所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，BC⊥CD．
（I）求證：MN∥平面BCD；
（II）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（III）若AB=1，BC=

3

，求直線AC與平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理：只需證明MN∥CD；
（II）利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，只需說明AB⊥平面BCD即可；
（III）因?yàn)锳B⊥平面BCD，由線面角的定義可知∠ACB為直線AC與平面BCD所成的角，通過解直角三角形即可解得；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镸，N分別是AC，AD的中點(diǎn)，所以MN∥CD．
又MN?平面BCD且CD?平面BCD，
所以MN∥平面BCD．
（Ⅱ）因?yàn)锳B⊥平面BCD，AB?平面ABC，
所以平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅲ）因?yàn)锳B⊥平面BCD，
所以∠ACB為直線AC與平面BCD所成的角．
在直角△ABC中，AB=1，BC=

3

，
所以tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

．所以∠ACB=30°．
故直線AC與平面BCD所成的角為30°．

點(diǎn)評：本題考查線面平行、面面垂直的判定，考查線面角的求解，屬中檔題，熟記相關(guān)判定定理及有關(guān)概念是解決問題的基礎(chǔ)．