Question

【題目】已知橢圓C： + =1的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1于點P，線段PF2的垂直平分線與l1的交點的軌跡為曲線C2 ， 若點Q是C2上任意的一點，定點A（4，3），B（1，0），則|QA|+|QB|的最小值為（ ）
A.6
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵圓C： + =1的左右焦點為F1 ， F2 ，
∴F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l1：x=﹣1，
設(shè)l2：y=t，設(shè)P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），
則y=t，且|MP|=|MF2|，
∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2 ，
∴曲線C2：y2=4x，
則B（1，0）為曲線C2：y2=4x焦點，
過Q做QQ′垂直于曲線C2的準(zhǔn)線，
由拋物線的定義可知：丨QQ′丨=丨QB丨，
|QA|+|QB|=|QA|+|QQ′丨，當(dāng)A，Q，Q′三點共線時，|QA|+|QQ′丨取最小值，
則Q′（﹣1，3），則|QA|+|QQ′丨的最小值為4﹣（﹣1）=5，
∴|QA|+|QB|的最小值5，
故選D．