Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)也為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).(1)若為橢圓上兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)為,求直線(xiàn)的斜率；

(2)若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)分別交橢圓于和,設(shè)線(xiàn)段的長(zhǎng)分別為,證明是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）先利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)求出，進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)差法求直線(xiàn)的斜率；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

詳解：因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，故.

所以橢圓.

（1）設(shè)，，則

兩式相減得，

又的中點(diǎn)為，所以，.

所以.

顯然，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線(xiàn)的斜率為.

（2）橢圓右焦點(diǎn).

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或者為時(shí)，.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

設(shè)，，聯(lián)立方程得

消去并化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>，

所以，.

所以，

同理可得.

所以為定值.