Question

已知函數f(x)=

1

1-x

，對于n∈N₊，定義f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，偶函數g（x）的定義域為{x|x≠0}，
當x＞0時，g（x）=|f₂₀₀₉（x）|．
（1）求g（x）；
（2）若存在實數a，b（a＜b）使得該函數在[a，b]上的最大值為ma，最小值為mb，求非零實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件推導出迭代函數以3為周期，f2009(x)=f2(x)=

x-1

x

．由此能求出求g（x）．
（2）因為a＜b，ma＞mb＞0，所以m＜0，a＜b＜0；因為mb≠0，所以-1∉[a，b]．所以a，b是方程1+

1

x

=mx的兩不同實根，⇒x2-

1

m

x-

1

m

=0在(-∞，-1)有兩個不同實根，由此能求出非零實數m的取值范圍．

解答：解：（1）因為f1(x)=f(x)=

1

1-x

，f2(x)=f(f1(x))=

1

1- 1 1-x

=

x-1

x

，f3(x)=f[f2(x)]=

1

1- x-1 x

=x
f4(x)=f[f3(x)]=

1

1-x

，
∴迭代函數以3為周期，
f2009(x)=f2(x)=

x-1

x

．…（5分）
設x＜0，則-x＞0，g(x)=g(-x)=|

-x-1

-x

|=|1+

1

x

|，
所以g(x)=

|1+ 1 x |，x＜0 |1- 1 x |，x＞0

…（9分）
如圖：
（2）∵a＜b，ma＞mb＞0
∴m＜0，a＜b＜0；…（12分）
∵mb≠0，
∴-1∉[a，b]（否則m=0，mb=ma=0，矛盾），
當a＜b＜-1，則f(x)=1+

1

x

在(-∞，-1]上是減函數，由題意

1+ 1 a =ma 1+ 1 b =mb

，
所以a，b是方程1+

1

x

=mx的兩不同實根，⇒x2-

1

m

x-

1

m

=0在(-∞，-1)有兩個不同實根，

△= 1 m2 + 4 m ＞0 g(-1)=1+ 1 m - 1 m ＞0⇒- 1 4 ＜m＜0…((15分)) 1 2m ＜-1

當-1＜a＜b＜0時，則f(x)=-1- 1 x 在(-1，0)上是增函數，由題意 -1- 1 a =mb -1- 1 b =ma ⇒a=b不合.

綜上所述-

1

4

＜m＜0．（19分）．

點評：本題考查函數的周期性和函數最值的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．易錯點是綜合性強，難度大，基礎不牢，找不準解題思路．