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        1. (20)已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥2),其中ai∈Z(i=1,2,…,k).由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:

          S={(a,b)|aA,bA,a+bA};T={(a,b)|aA,bAa-bA},

          其中(ab)是有序數(shù)對(duì).集合ST中的元素個(gè)數(shù)分別為mn.

          若對(duì)于任意的aA,總有-aA,則稱集合A具有性質(zhì)P.

          (Ⅰ)檢驗(yàn)集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質(zhì)P,并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合,寫(xiě)出相應(yīng)的集合ST;

          (Ⅱ)對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A,證明:n;

          (Ⅲ)判斷mn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

          (Ⅰ)解:集合{0,1,2,3}不具有性質(zhì)P.

          集合{-1,2,3}具有性質(zhì)P,其相應(yīng)的集合ST

          S={(-1,3),(3,-1)},T={(2,-1),(2,3)}.

          (Ⅱ)證明:首先,由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(ai,aj)共有k2個(gè).

          因?yàn)?A,所以(ai,ajTi=1,2,…,k);

          又因?yàn)楫?dāng)aA時(shí),-aA,所以當(dāng)(ai,aj)∈T時(shí),(ajaiTi,j=1,2,…,k).

          從而,集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為k2-k)=,即n.

          (Ⅲ)解:mn.證明如下:

          (1)對(duì)于(ab)∈S,根據(jù)定義,aA,bA,且a+bA,從而(a+b,b)∈T.

          如果(a,b)與(c,d)是S的不同元素,那么a=cb=d中至少有一個(gè)不成立,

          從而a+b=c+db=d中也至少有一個(gè)不成立,

          故(a+b,b)與(c+dd)也是T的不同元素.

          可見(jiàn),S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù),即mn.

          (2)對(duì)于(a,b)∈T,根據(jù)定義,aAbA,且a-bA,從而(a-b,b)∈S.

          如果(ab)與(c,d)是T的不同元素,那么a=cb=d中至少有一個(gè)不成立,

          從而a-b=c-db=d中也至少有一個(gè)不成立,

          故(a-bb)與(c-d,d)也是S的不同元素.

          可見(jiàn),T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù),即nm.

          由(1)(2)可知,m=n.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (Ⅰ)若A∩B=∅,求a的取值范圍;
          (Ⅱ)若?p是q的充分不必要條件,求a的取值范圍.

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          (Ⅱ)已知集合A是函數(shù)y=lg(20+8x-x2)的定義域,p:x∈A,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若?p是q的充分不必要條件,求a的取值范圍.

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