Question

甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是

1

3

，

2

5

，

1

2

．
（1）現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率；
（2）用ξ表示乙投籃10次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ和方差Dξ；
（3）若η=4ξ+1，求Eη和Dη．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別記“甲、乙、丙投籃1次投進(jìn)”為事件A₁、A₂、A₃，“3人都沒(méi)有投進(jìn)”為事件A，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ的可能值有0，1，2，3，進(jìn)而由隨機(jī)變量的概率分布與期望的計(jì)算方法，計(jì)算可得答案．
（3）由已知η=4ξ+1，根據(jù)方差的性質(zhì)求得η的均值、方差即可．

解答：解：（1）記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A₁，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件A₂，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件A₃，
“3人都沒(méi)有投進(jìn)”為事件A．
則P（A₁）=

1

3

，P（A₂）=

2

5

，P（A₃）=

1

2

，
∴P（A）=(

.

A1

.

A2

.

A3

)
=P (

.

A1

)•(

.

A2

)•(

.

A3

)
=[1-P（A₁）]•[1-P（A₂）]•[1-P（A₃）]
=（1-

1

3

）（1-

2

5

）（1-

1

2

）
=

1

5

∴3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率為

1

5

．
（2）隨機(jī)變量ξ的可能值有0，1，2，3，…，10．
ξ～B（10，

2

5

），
P（ξ=k）=C₁₀^k（

2

5

）^k（

3

5

）^10-k（k=0，1，2，…，10），
Eξ=np=10×

2

5

=4．
方差Dξ=np（1-p）=10×

2

5

×

3

5

=

12

5

．
（3）若η=4ξ+1，由（2）得，
Eη=E（4ξ+1）=4Eξ+1=4×4+1=17
Dη=D（4ξ+1）=4²Dξ=16×

12

5

=

192

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式與隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，能力上考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是高考熱點(diǎn)．