Question

某科技公司遇到一個(gè)技術(shù)難題，緊急成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自單獨(dú)進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定對(duì)攻關(guān)期滿就攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)．已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期滿時(shí)被甲小組攻克的概率為

2

3

，被乙小組攻克的概率為

3

4

．
（1）設(shè)ξ為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，求ξ的分布列及Eξ；
（2）設(shè)η為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)與沒(méi)有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)之差的平方，記“函數(shù)f（x）=|η-

7

2

|^x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”為事件C，求事件C的概率．

Answer 1

分析：（1）ξ為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，則ξ的所有可能取值為0，1，2．根據(jù)變量結(jié)合的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列．
（2）根據(jù)獲獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的可能取值為0，1，2，得到相對(duì)應(yīng)沒(méi)有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組的取值為2，1，0，得到η的可能取值為0，4．寫(xiě)出函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果．

解答：解：（1）記“甲攻關(guān)小組獲獎(jiǎng)”為事件A，則P（A）=

2

3

，記“乙攻關(guān)小組獲獎(jiǎng)”為事件B，則P（B）=

3

4

由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

3

4

）=

1

12

P（ξ=1）=（1-

2

3

）×

3

4

+

2

3

×（1-

3

4

）=

5

12

P（ξ=2）=

2

3

×

3

4

=

1

2

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 12	5 12	1 2

∴Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

1

2

=

17

12

（2）∵獲獎(jiǎng)攻關(guān)小組數(shù)的可能取值為0，1，2，相對(duì)應(yīng)沒(méi)有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組的取值為2，1，0．
∴η的可能取值為0，4．
當(dāng)η=0時(shí)，f（x）=(

7

2

)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
當(dāng)η=4時(shí)，f（x）=(

1

2

)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
∴P（C）=P（η=4）=

1

2

+

1

12

=

7

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，本題是一個(gè)綜合題目．