Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后利用參變量分離法得出，于是可得出實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，并設(shè)

，得知在區(qū)間上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用參變量分離法得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值可求出實數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）易知不是常值函數(shù)，∵在上是增函數(shù)，

∴恒成立，所以，只需；

（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)，

則，可化為，

設(shè)，則，

所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，

等價于在上恒成立，

設(shè)，所以，

因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．

所以．即的最小值為12．