Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E₂：x²+y²=a+b上，且橢圓的離心率是

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓E₁和圓E₂的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過(guò)圓E₂上的一點(diǎn)P（x₀，y₀）的直線(xiàn)l，使l與圓E₂相切，與橢圓E₁有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且

OA

•

OB

=3？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E₂：x²+y²=a+b上，且橢圓的離心率是

3

2

，建立方程，即可求得橢圓E₁和圓E₂的方程；
（Ⅱ）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，由l于為x²+y²=3相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），可得直線(xiàn)l的方程為x₀x+y₀y=3，分類(lèi)討論，利用

OA

•

OB

=3，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，a²-b²=a+b，

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，b=1
∴橢圓E₁的方程為

x2

4

+y2=1，圓E₂的方程為x²+y²=3；
（Ⅱ）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在，由l于為x²+y²=3相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），可得直線(xiàn)l的方程為x₀x+y₀y=3
當(dāng)y₀=0時(shí)，

OA

•

OB

=

11

4

≠3，不合題意；
當(dāng)y₀≠0時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合x(chóng)₀²+y₀²=3，可得3（1+

x

2 0

）x²-24x₀x+4

x

2 0

+24=0
∵(-24x0)2-12（1+

x

2 0

）（4

x

2 0

+24）＞0
∴2＜

x

2 0

＜3
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8x0

1 +x 2 0

，x₁x₂=

24+4x02

3(1 +x 2 0 )

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

11

1 +x 2 0

∵

OA

•

OB

=3，∴

11

1 +x 2 0

=3
∴

x

2 0

=

8

3

∵2＜

x

2 0

＜3，
∴存在直線(xiàn)l，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x₀=±

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．