Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，，求證：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為．

由題意  ………………………………………………2分

解得 ，．

所以橢圓的方程為．………………………………………………4分

（Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜率必存在，設(shè)的斜率為，

則的直線方程為.

由得

.………………6分

設(shè)，，則

，

同理可得，

則，.

所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分

（Ⅲ）設(shè)的直線方程為.

由得. [Z§xx§k.Com]

由，得.……………………………………10分

此時(shí)，.

到的距離為，

   

則

.

因?yàn)?img width=48 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/15/10815.gif" >使判別式大于零，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以面積的最大值為．