Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，和面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試求滿足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

試題分析：（1），并且與直線相切，那么圓心到直線的距離，再根據(jù)，計(jì)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算，代入公式，得到的關(guān)系式，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并且表示，當(dāng)滿足，得到的關(guān)系式.

試題解析：（1）

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由，解得，不妨設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，所以的關(guān)系式為.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓整理得：，根系關(guān)系略，所以

所以，所以的關(guān)系式為.