Question

【題目】已知函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，且f（4）=4，則f（2012）=（ ）
A.0
B.﹣4
C.﹣8
D.﹣16

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱， 所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
令x=﹣3得，f（﹣3+6）+f（﹣3）=2f（3），
即f（3）﹣f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=﹣f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函數(shù)的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168﹣4）=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4．
故選：B．
先利用函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，得到函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，然后求出f（3）=0，最后利用函數(shù)的周期性求f（2012）的值．