Question

【題目】設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù) f（x），對于任意正實(shí)數(shù) a、b，都有 f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且當(dāng) x＞1 時，f（x）＜1．

（1）求 f（1）及的值；

（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）f（）＝2；（2）見解析

【解析】

（1）可令a＝b＝1，解得f（1）＝1，再根據(jù)f（2×）＝f（2）+f（）求解f（）即可

（2）可設(shè)0＜x1＜x2，可得＞1，將f（x2）表示成f（x1），再結(jié)合f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可

（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）+f（1）﹣1，得f（1）＝1，∵f（2）＝0，

∴f（2×）＝f（2）+f（）﹣1＝f（1），

則0+f（）﹣1＝1，得f（）＝2；

（2）證明：設(shè)0＜x1＜x2，可得＞1，可得f（）＜1，

由f（x2）＝f（x1）＝f（x1）+f（）﹣1＜f（x1），

可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．