Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈[0，1]，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）=，x∈[0，1]，求導(dǎo)，先對函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值，即可得到答案．
（II）先對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，則g′（x）=3（x²-a²）．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的取值范圍，即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)有g(shù)（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，最后依據(jù)題意：“任給x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x∈[0，1]使得g（x）=f（x₁），”得到：[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，從而列出不等關(guān)系求得a的取值范圍即可．
解答：解：（1）對函數(shù)f（x）=，x∈[0，1]，求導(dǎo)，得
f′（x）==-，
令f′（x）=0解得x=或x=．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

所以，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（，1）時(shí)，f（x）是增函數(shù)．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，則g′（x）=3（x²-a²）．
因?yàn)閍≥1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜5（1-a²）≤0，
因此當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）為減函數(shù)，
從而當(dāng)x∈[0，1]時(shí)有g(shù)（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a²，g（0）=-2a，
即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)有g(shù)（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，
任給x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x∈[0，1]使得g（x）=f（x₁），
則[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，即，
解①式得a≥1或a≤-，
解②式得a≤，
又a≥1，故a的取值范圍內(nèi)是1≤a≤．
點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．