Question

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)

QA

•

QB

取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　�。�

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ，

  3

  4

  )
• C．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  7

  3

  )

Answer 1

分析：由點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，可得存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），利用數(shù)量積可得

QA

•

QB

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：∵點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，∴存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），
∴

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)．
∴

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）
=6λ²-16λ+10=6(λ-

4

3

)2+

74

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=

4

3

時(shí)，上式取得最小值，
∴Q(

4

3

，

4

3

，

8

3

)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．