Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，

AF

=2

FB

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|=

15

4

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．直線l的方程為  y=

3

(x-c)，代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，解出兩根y₁，y₂，由

AF

=2

FB

，得-y₁=2y₂．代入得a，b，c的關(guān)系式，化簡可得

c

a

，即離心率；
（2）利用弦長公式：|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

及韋達(dá)定理可表示出弦長，令其等于

15

4

可得a，b方程，再由

c

a

=

2

3

即可求得a，b值；

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
直線l的方程為  y=

3

(x-c)，其中c=

a2-b2

．
聯(lián)立

y= 3 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

得(3a2+b2)y2+2

3

b2cy-3b4=0，
解得y1=

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
因?yàn)?span id="8a8fhv1" class="MathJye">

AF

=2

FB

，所以-y₁=2y₂．即 

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
所以3c=2a，得離心率 e=

c

a

=

2

3

．
（2）由（1）知c=

2

3

a，
則|AB|=

1+ 1 3

|y2-y1|=

2 3

3

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 3

3

( -2 3 b2c 3a2+b2 )2+ 4×3b4 3a2+b2

2 3

3

•

4 3 ab2

3a2+b2

，
所以

2

3

•

4 3 ab2

3a2+b2

=

15

4

．
再由

c

a

=

2

3

得b=

5

3

a．
所以

5

4

a=

15

4

，得a=3，b=

5

．
橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求解、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，韋達(dá)定理及弦長公式是解決該類問題常用知識(shí)，應(yīng)熟練掌握．