Question

已知拋物線y²=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AB|的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|表示出|AB|，把弦長(zhǎng)用引入的參數(shù)表示出來(lái)，再由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，研究出參數(shù)k，b的關(guān)系，使得弦長(zhǎng)公式中只有一個(gè)參數(shù)，再根據(jù)其形式判斷即可得出最值

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，令直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0
故有x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

故有

-2(kb-2)

k2

=4，解得b=

2-2k2

k

，即x1x2=

b2

k2

=

4-8k2+4k4

k4

又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16-4× 4-8k2+4k4 k4

=4

1+k2

-1+2k2 k4

=4×

2+[-( 1 k2 - 1 2 )2+ 1 4 ]

≤4×

9 4

=6
故|AB|的最大值為6

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是用弦垂公式表示出弦長(zhǎng)，再結(jié)合題設(shè)中所給的條件將弦長(zhǎng)表示成某個(gè)量的函數(shù)，利用求最值的方法求出最值．本題比較抽象，難點(diǎn)在二把弦長(zhǎng)用參數(shù)表示出來(lái)之間，需要做大量的運(yùn)算，做題時(shí)要有耐心，平時(shí)要注意提高符號(hào)運(yùn)算能力．