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        1. 已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
          1
          2
          )=-1,且當(dāng)x,y∈(-1,1)時(shí),恒有f(x)-f(y)=f(
          x-y
          1-xy
          ),又?jǐn)?shù)列{an}滿足a1=
          1
          2
          ,an+1=
          2an
          1+
          a2n
          ,設(shè)bn=
          1
          f(a1)
          +
          1
          f(a2)
          +…+
          1
          f(an)

          (1)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
          (2)求f(an)的表達(dá)式;
          (3)是否存在正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都有bn
          m-8
          4
          成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          (1)證明:令x=y=0,則f(0)=0,再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),
          ∴f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),
          ∴f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù).(3分)
          (2)∵f(a1)=f(
          1
          2
          )=-1,由(1)知f(x)+f(y)=f(
          x+y
          1+xy
          )
          ,
          f(an+1)=f(
          2an
          1+
          a2n
          )=f(
          an+an
          1+anan
          )=f(an)+f(an)=2f(an)
          ,
          f(an+1)
          f(an)
          =2

          ∴{f(an)}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
          ∴f(an)=-2n-1.(7分)
          (3)∵bn=-(1+
          1
          2
          +
          1
          22
          ++
          1
          2n-1
          )=-
          1-
          1
          2n
          1-
          1
          2
          =-2+
          1
          2n-1

          bn
          m-8
          4
          恒成立(n∈N+),則-2+
          1
          2n-1
          m
          4
          -2,即m>
          4
          2n-1

          ∵n∈N+,∴當(dāng)n=1時(shí),
          4
          2n-1
          有最大值4,故m>4.
          又∵m∈N,∴存在m=5,使得對(duì)任意n∈N+,有bn
          m-8
          4
          .(14分)
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)定義在(-1,1)上,對(duì)于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
          x+y
          1+xy
          )
          ,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0.
          (Ⅰ)驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
          1-x
          1+x
          是否滿足這些條件;
          (Ⅱ)判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性,并加以證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)定義在R上,并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x≠y時(shí),f(x)≠f(y),x>0時(shí),有f(x)>0.
          (1)判斷f(x)的奇偶性;
          (2)若f(1)=1,解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
          1x-1
          )≥2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•連云港二模)已知函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上,且對(duì)于任意的正整數(shù)x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),且f(1)=2,f(3)=6,則f(2009)=
          4018
          4018

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
          1
          2
          )=-1,且當(dāng)x,y∈(-1,1)時(shí),恒有f(x)-f(y)=f(
          x-y
          1-xy
          ),又?jǐn)?shù)列{an}滿足:a1=
          1
          2
          ,an+1=
          2an
          1+
          a
          2
          n

          (I)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
          (II)求f(an)關(guān)于n的函數(shù)解析式;
          (III)令g(n)=f(an)且數(shù)列{an}滿足bn=
          1
          g(n)
          ,若對(duì)于任意n∈N+,都有b1+b2+…+bnt2-3t恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)定義在R上,對(duì)任意的x∈R,f(x+1001)=
          2
          f(x)
          +1
          ,已知f(11)=1,則f(2013)=
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案