Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(

an+1

2

)2，設(shè)b_n=10-a_n（n∈N）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最大值．
（3）求數(shù)列{|b_n|}（n∈N）的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）將已知的關(guān)于和與項(xiàng)的關(guān)系變形，然后仿寫一個(gè)新的等式，將兩個(gè)式子相減得到項(xiàng)的關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義得到證明．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，令通項(xiàng)小于等于0求出n的范圍，即從第幾項(xiàng)為負(fù)，得到T_n的最大值．
（3）由（2），通過對(duì)n的討論，利用絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，將數(shù)列{|b_n|}（n∈N）的前n項(xiàng)和問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出．

解答：解：（1）證明：∵Sn=(

an+1

2

)2
即4S_n=a_n²+2a_n+1
4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1
兩個(gè)式子相減得
a_n-a_n-1=2
數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=10-a_n=-2n+11
令b_n≤0
得n≥

11

2

∴數(shù)列{b_n}中前5項(xiàng)都是正項(xiàng)，從第六項(xiàng)開始為負(fù)項(xiàng)
∴T_n的最大值（（T_n）_max=T₅=25
（3）當(dāng)n≤5時(shí)，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+..+b_n=10n-n²
當(dāng)n＞5時(shí)，|b₁|+|b₂|+..+|b_n|=b₁+b₂+…+b₅-（b₆+b₇+…+b_n）
=10×5-5²-（10n-n²-10×5+5²）=n²-10n+50
∴Vn=

10n-n2(n≤5) n2-10n+50(n＞5)

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，一般先求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組法．