Question

如圖，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，DC=DA=2，DD₁=4，點E在C₁C上，且CE=1．
（1）求異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值；
（2）求證：A₁C⊥平面DBE；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）說明∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角，解三角形AA₁D，直接求異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值；
（2）建立空間直角坐標系D-xyz，求出

DE

，

DB

，

A1C

，計算

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，即可證明A₁C⊥平面DBE；
（3）向量

A1C

為平面DBE的一個法向量，求出平面DA₁E的法向量

n

，利用cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

求二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．
則B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）解：∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是異面直線A₁D與B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴tan∠AA1D=

1

2

即異面直線A₁D與B₁B所成角的正切值為

1

2

．

（2）證明：∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE．

（3）解：由（2）知向量

A1C

為平面DBE的一個法向量
設平面DA₁E的法向量

n

=（x，y，z）
由n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴

n

=（4，1，-2）cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

又二面角A₁-DE-B為銳角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值為

14

42

點評：本題考查用向量證明垂直，二面角及其度量，異面直線所成的角，考查學生分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．