Question

若函數(shù)f(x)=2x的反函數(shù)為f-1(x)，且f-1(a)+f-1(b)=4，則

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本題考查反函數(shù)的概念、反函數(shù)的求法、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相關(guān)知識(shí)．
根據(jù)y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式

a+b

2

≥

ab

即可得到

1

a

+

1

b

最小值．

解答：解：由y=2^x解得：x=log₂y
∴函數(shù)f（x）=2^x的反函數(shù)為f^-1（x）=log₂x，x＞0
由f^-1（a）+f^-1（b）=4得：log₂a+log₂b=4
即：log₂ab=4
∴ab=16
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

1 16 =

1

2

即b

1

a

+

1

b

的最小值是

1

2

．
答案：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題小巧靈活，用到的知識(shí)比較豐富，具有綜合性特點(diǎn)，涉及了反函數(shù)、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知識(shí)，是這些內(nèi)容的有機(jī)融合，思維密度較大；
解題中用注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)log₂a+log₂b=4得a、b的關(guān)系式．