Question

設(shè)直線2x-y+1=0與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）已知橢圓具有性質(zhì)：設(shè)A、B是橢圓上的任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，只需求出A，B橫坐標(biāo)之和，縱坐標(biāo)之和，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可．把直線2x-y+1=0代入橢圓中，利用韋達(dá)定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，可得M點(diǎn)坐標(biāo)．再用弦長(zhǎng)公式，可求線段AB的長(zhǎng)
（2）涉及中點(diǎn)弦問題，也可使用點(diǎn)差法解決，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點(diǎn)原點(diǎn)連線斜率之間的關(guān)系
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則⇒⇒（2分）
所以
|AB|===
（2）設(shè)A、B是雙曲線上的任意兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．
證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分別代入雙曲線，再相減后可得：
-=0
設(shè)M（x，y），則，代入上式可得=×
即k_AB?k_OM=
∴定值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是當(dāng)直線與曲線相交并且與弦的中點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以使用聯(lián)立方程組的辦法，也可采用點(diǎn)差法，但要認(rèn)證體會(huì)兩種方法的局限性