Question

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足，且.

①證明直線與軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān)；

②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；

(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1)①交點(diǎn)為；②；(2) .

【解析】

試題分析：(1)①本題方法很容易想到，主要考查計(jì)算推理能力，寫出直線的方程，然后把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線的方程，令，求出，與無(wú)關(guān)；②兩個(gè)三角形∆與∆有一對(duì)對(duì)頂角和，故面積用公式，表示，那么面積比就為，即，這個(gè)比例式可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間(或縱坐標(biāo))的關(guān)系式，從而 求出；(2)仍采取基本方法，設(shè)的方程為，則的方程為，直線與圓相交于，弦的長(zhǎng)可用直角三角形法求，(弦心距，半徑，半個(gè)弦長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)直角三角形)，的高為是直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)，用公式來(lái)求，再借助于基本不等式求出最大值及相應(yīng)的值，也即得出的方程.

試題解析：（1）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030303222540622612/SYS201403030323364843213145_DA.files/image034.png">,M (m,)，且，

直線AM的斜率為k₁=,直線BM斜率為k₂=,

直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y=,

由得，

由得，

；

據(jù)已知，，

直線EF的斜率

直線EF的方程為  ,

令x=0,得 EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).

②,,,

,，,

 ，

整理方程得，即，

又有，， ， 為所求.

(2) 因?yàn)橹本�,且都過(guò)點(diǎn),所以設(shè)直線,

直線,

所以圓心到直線的距離為,

所以直線被圓所截的弦；

由,所以

  所以

所以

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

此時(shí)直線

考點(diǎn)：(1)①動(dòng)直線中的定點(diǎn)問(wèn)題；②三角形的面積，線段比與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(2)直線與圓相交弦長(zhǎng)，直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)，基本不等式.