Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′，P是線段BB'上的異于端點(diǎn)B、B′的點(diǎn)，設(shè)PA∩A′B=E，PC∩BC′=F．
（1）當(dāng)P是BB′中點(diǎn)時(shí)，異面直線PC、AD所成角的正切值；
（2）求證：EF∥面ABCD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BC∥AD，判定∠PCB即為異面直線PC，AD所成角，在△PBC中求其正切值．
（2）利用三角形相似，判斷線段成比例，來證明EF∥AC，在有線線平行證線面平行．

解答：解：（1）在正方體正方體ABCD-A′B′C′D′中，∵BC∥AD，
∴∠PCB即為異面直線PC，AD所成角，
 在△PBC中，∵P是BB′中點(diǎn)，∴PB=

1

2

BB′=

1

2

BC，
∴tan∠PCB=

PB

BC

=

1

2

．         
（2）∵AA′∥BB′，∴△PEB∽△A'AE，∴

PE

EA

=

PB

A′A

，
同理有

PF

FC

=

PB

CC′

，
∵A′A=C′C，∴

PB

A′A

=

PB

CC′

，
∴在△PAC中，有

PE

EA

=

PF

FC

．
∴EF∥AC，又EF?面ABCD，AC?面ABCD，
∴EF∥面ABCD．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定，考查了異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力．