Question

已知點(diǎn)B（5，0）和點(diǎn)C（-5，0），過(guò)點(diǎn)B的直線l與過(guò)點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k_2：
（Ⅰ）如果k₁•k₂=

16

25

，求點(diǎn)A的軌跡方程；
（Ⅱ）如果k₁•k₂=a，其中a≠0，求點(diǎn)A的軌跡方程，并根據(jù)a的取值討論此軌跡是何種曲線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A（x，y），用x，y表示 k₁和k₂ ，利用 k₁•k₂=

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，建立關(guān)于x，y的方程．
（Ⅱ） 用x，y表示 k₁和k₂ ，k₁•k₂=a，建立關(guān)于x，y的方程并進(jìn)行化簡(jiǎn)，討論a的取值范圍，確定軌跡所代表的曲線．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，由 k₁•k₂=

16

25

，得

y

x-5

•

y

x+5

=

16

25

，
即

x2

25

-

y2

16

=1（y≠0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，代入 k₁•k₂=a可得； 

y

x-5

•

y

x+5

=a，即

x2

25

-

y2

25a

=1（y≠0）．
①當(dāng)a＞0，表示雙曲線，去掉（5，0），（-5，0）兩點(diǎn)．
②當(dāng)-1＜a＜0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
③當(dāng) a=-1，表示圓．
④當(dāng)a＜-1，表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，以及由軌跡方程判斷軌跡所代表的曲線，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．