Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③當x₁，x₂≥0，x₁+x₂≤1時有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）證明：當x∈（

1

2

，1]時，f（x）＜2x；當x∈[0，

1

2

]時，f（x）≤

1

2

f（2x）．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x₁=1，x₂=0，利用函數(shù)性質(zhì)③即可求得f（0）的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，任取0≤x₁＜x₂≤1，利用性質(zhì)③和①證明f（x₂）≥f（x₁），從而證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值即可；
（3）利用結(jié)論（2）即可證明當x∈（

1

2

，1]時，f（x）＜2x，利用函數(shù)性質(zhì)③即可證明當x∈[0，

1

2

]時，f（x）≤

1

2

f（2x）．

解答：解：（1）令x₁=1，x₂=0，則f（1+0）≥f（1）+f（0），∴f（0）≤0，
又∵于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0，∴f（0）≥0，
∴f（0）=0
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1，可知x₂-x₁∈（0，1]，則f（x₂）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）≥0
故f（x₂）≥f（x₁），∴定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
于是當0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1，
故當x=1時，f（x）有最大值1．
（3）證明：當x∈（

1

2

，1]時，由（2）知f（x）≤1，而2x＞2×

1

2

=1
∴f（x）＜2x
當x∈[0，

1

2

]時，2x≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴f（x）≤

1

2

f（2x）

點評：本題綜合考查了抽象函數(shù)表達式反映的函數(shù)性質(zhì)，及利用抽象表達式求值、證明的方法，恰當?shù)睦�用函�?shù)性質(zhì)進行變形和放縮是解決本題的關鍵