Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

3

)x，函數(shù)g(x)=log

1

3

x．
（1）若函數(shù)y=g（mx²+2x+m）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)y=g[f（x²）]的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲使函數(shù)y=g（mx²+2x+m）的值域?yàn)镽，只需要內(nèi)層函數(shù)的值域中包含了全體正數(shù)，當(dāng)m=0時顯然滿足，當(dāng)m不為0時，內(nèi)層函數(shù)為二次函數(shù)，需要開口向上且判別式大于等于0，即可滿足要求．
（2）x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3是一個復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的最值一般分兩步來求，第一步求內(nèi)層函數(shù)的值域，第二步研究外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值，本題內(nèi)層函數(shù)的值域是確定的一個集合，而外層函數(shù)是一個系數(shù)有變量的二次函數(shù)，故本題是一個區(qū)間定軸動的問題．
（3）假設(shè)存在，先求出函數(shù)y=g[f（x²）]的解析式，為y=x²，則函數(shù)在[m，n]上單調(diào)增，故有[m²，n²]=[2m，2n]解出m，n的值說明假設(shè)成立，若解不出，則說明假設(shè)不成立．

解答：解：（1）①當(dāng)m=0時，滿足條件；
②當(dāng)m≠0時，有

m＞0 △≥0

?0＜m≤1
綜上可得，0≤m≤1．
（2）令f(x)=t(

1

3

≤t≤3)，則y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²
①當(dāng)a＜

1

3

時，h(a)=

28

9

-

2

3

a
②當(dāng)

1

3

≤a≤3時，h（a）=3-a²
③當(dāng)a＞3時，h（a）=12-6a
故h（a）=

28 9 - 2 3 a    a＜ 1 3 3-a2     1 3 ≤a≤3 12-6a     a＞3

；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n滿足條件，則有0≤m＜n，
化簡可得函數(shù)表達(dá)式為y=x²，則函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增，
故值域?yàn)閇m²，n²]=[2m，2n]
解得m=0，n=2
故存在m=0，n=2滿足條件．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了恒成立的問題，用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值，以及判斷存在性的問題，涉及到的知識點(diǎn)較多，難度較大，綜合性強(qiáng)．