Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（

3

，0）．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，P是弦AB的中點(diǎn)，OP的斜率為

2

3

（其中O為原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)易知其標(biāo)準(zhǔn)方程中的c、a，進(jìn)而求得b，則雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程即得；
（2）直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)法才聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，依據(jù)以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)求得p點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率是

2

3

，求出k 的值．．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得 a=

3

，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+1 x2 3 -y2=1

得：（1-3k²）x²-6kx-6=0
△=36k2+24（1-k2）＞0得：3k²＜2
∵1-3k²≠0
∴3k²＜2  3k²≠1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6k

1-3k2

  x₁x₂=-

-6

1-3k2

∴p點(diǎn)坐標(biāo)為（

3k

1-3k2

，

1

1-3k2

）
∵kop=

2

3

 
∴

1

3k

=

2

3

∴k=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)以及直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，類(lèi)題是歷年高考命題的熱點(diǎn)，試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)．