Question

如圖，在三棱錐P-ABC中PA=BC=2

2

，AB=PC=AC平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，AB⊥AC，點(diǎn)M，N分別在PA，CB上運(yùn)動(dòng)，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
（Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最��？
（Ⅱ）當(dāng)MN最小時(shí)，求二面角C-MN-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)，可得PC⊥平面ABC，以C為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，代入空間兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得結(jié)論．
（II）結(jié)合（I）中結(jié)論，分別求出平面CMN的法向量和平面AMN的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角C-MN-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC?平面PAC
∴PC⊥平面ABC，
故可以C為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系：
∵PA=BC=2

2

，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
則M(

2 a

2

，0，2-

2 a

2

)，N(

2 a

2

，

2 a

2

，0)
∴|MN|=

a2-2 2 a+4

≥

2

當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

，
即M，N分別為PA，CB中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，MN的長最小時(shí)．M（1，0，1），N（1，1，0），A（2，0，0），
故設(shè)平面CMN的法向量為

n1

=(x，y，z)
則：

n1 • CM =0 n1 • CN =0

，
令x=1得

n1

=(1，-1，-1)，
同理得平面AMN的法向量得

n2

=(1，1，1)，
故所求二面角的余弦值為cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離，二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．