Question

（2013•長(zhǎng)春一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．
（1）證明：A₁O⊥平面ABC；
（2）若E是線段A₁B上一點(diǎn)，且滿足VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1，求A₁E的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形三線合一，可得A₁O⊥AC，進(jìn)而由側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得A₁O⊥平面ABC；
（2）由VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1，可得BE=

1

4

BA1，即A1E=

3

4

A1B，解Rt△A₁OB求出A₁B，進(jìn)而可得A₁E的長(zhǎng)度

解答：證明：（1）∵AA₁=A₁C=AC=2，且O為AC中點(diǎn)，
∴A₁O⊥AC，
又∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁O?側(cè)面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC．（6分）
解：（2）VE-BCC1=

1

12

VABC-A1B1C1=

1

4

VA1-BCC1，
因此BE=

1

4

BA1，
即A1E=

3

4

A1B，
又在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，A1O=

3

，BO=1
可得A₁B=2，
則A₁E的長(zhǎng)度為

3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題以斜三棱柱為考查載體，考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)．同時(shí)題目指出側(cè)面的一條高與底面垂直，搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu)．本題通過(guò)分層設(shè)計(jì)，考查了空間直線垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．