Question

如圖，橢圓：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過作與軸垂直的直線與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為 ． （Ⅱ）實(shí)數(shù)取值范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點(diǎn)．

所以橢圓的方程為：．

解方程組 得C（1，2），D（1，-2）． 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴，， ∴ ．       2分

因此，，解得并推得．

故橢圓的方程為 ．                  4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.

設(shè)：，，，，

由得.

，.  6分

，.

∵＜，∴，

∴∴，

∴，∴.∴，  8分

∵，∴，

，.

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴∴，  10分

∴或，

∴實(shí)數(shù)取值范圍為.  12分

考點(diǎn)：本題主要考橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，拋物線的幾何性質(zhì)，直線橢圓的位置關(guān)系，平面向量的線性運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了拋物線及橢圓的幾何性質(zhì)，建立a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定得到t的函數(shù)式，通過確定函數(shù)的值域，達(dá)到確定實(shí)數(shù)取值范圍的目的。利用函數(shù)思想解題，是一道好例。