Question

已知函數(shù)f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無(wú)實(shí)根．
（Ⅲ）若x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式寫出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無(wú)實(shí)根轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上有無(wú)零點(diǎn)問題，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來(lái)，x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)m小于一個(gè)函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）m=2時(shí)，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴切線方程為y=4x-4；
（Ⅱ）m=1時(shí)，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)根； 
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
由G′(x)=

(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x

(x2-1)2

=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2+1)2

，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當(dāng)x∈（1，e]時(shí)G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G(e)=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是(-∞，

4e

e2-1

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用分離變量法解決恒成立的問題，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是該題的精髓所在，屬中高檔題．