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        1. 設(shè)F1、F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn).
          (1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求向量乘積的取值范圍;
          (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,且∠MON為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
          (3)設(shè)A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積的最大值.
          【答案】分析:(1)由題設(shè)知,,設(shè)P(x,y),則=x2+y2-3=.由此能夠求出向量乘積的取值范圍.
          (2)設(shè)直線l:y=kx-2,M(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,得:,由韋達(dá)定理和根的判別式知:或k,又0°<∠MON<90°?cos∠MON>0?>0,由此能求出直線l的斜率k的取值范圍.
          (3)由題設(shè)|BO|=1,|AO|=2.設(shè)y1=kx1,y2=kx2,由x2>0,y2=-y1>0,故四邊形AEBF的面積為S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=,由此能求出S的最大值.
          解答:解:(1)根據(jù)題意易知,所以,
          設(shè)P(x,y),則
          =x2+y2-3
          =
          =
          故-2
          (2)顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線l:y=kx-2,M(x1,y1),B(x2,y2),
          聯(lián)立,消去y,整理得:,

          ,
          得:或k
          又0°<∠MON<90°?cos∠MON>0?>0,
          ∴x1x2+y1y2>0,
          又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
          =
          =
          ,
          即k2<4,∴-2<k<2.
          故由①、②得,或
          (3)由題設(shè),|BO|=1,|AO|=2.
          設(shè)y1=kx1,y2=kx2,由x2>0,y2=-y1>0,
          故四邊形AEBF的面積為S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=
          ==2,
          當(dāng)x2=2y2時(shí),上式取等號(hào).所以S的最大值為2
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
          x2
          6m2
          +
          y2
          2m2
          =1
          (m>0)的左,右焦點(diǎn).
          (1)當(dāng)P∈C,且
          PF1
          PF
          2
          =0
          ,|PF1|•|PF2|=8時(shí),求橢圓C的左,右焦點(diǎn)F1、F2
          (2)F1、F2是(1)中的橢圓的左,右焦點(diǎn),已知⊙F2的半徑是1,過(guò)動(dòng)點(diǎn)Q的作⊙F2切線QM,使得|QF1|=
          2
          |QM|
          (M是切點(diǎn)),如圖.求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1、F2分別是橢圓
          x2
          9
          +y2=1
          的左、右焦點(diǎn).
          (I)若M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求
          mF1
          MF2
          的最大值和最小值;
          (II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為鈍角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1、F2分別是橢圓
          x2
          5
          +
          y2
          4
          =1
          的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求
          PF1
          PF2
          的最大值和最小值;
          (Ⅱ)是否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓
          x2
          4
          +y2=1
          的左右焦點(diǎn),過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B.
          (Ⅰ)若OA⊥OB,求AB的長(zhǎng);
          (Ⅱ)在x軸上是否存在一點(diǎn)M,使得
          MA
          MB
          為常數(shù)?若存在,求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1、F2分別是橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn),且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列.
          (1)若a=1,求|AB|的值;
          (2)若k=1,設(shè)點(diǎn)P(0,-1)滿足|PA|=|PB|,求橢圓E的方程.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案