Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)=，.

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）是否存在實數(shù)，對任意給定的，在區(qū)間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（3）給出如下定義：對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點，如果對于函數(shù)圖象上的點（其中總能使得成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“”，試判斷函數(shù)是不是具備性質(zhì)“”，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）值域為 .（2）滿足條件的不存在. （3）函數(shù)不具備性質(zhì)“”.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）因為，然后分析導(dǎo)數(shù)的正負，然后判定單調(diào)性得到值域。

（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)，對于參數(shù)a討論得到結(jié)論。

（3）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到結(jié)論。

（1）,當(dāng)時，，時， 

  在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,且，

   的值域為 .          ………………………….3分

（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)  ……5分

   

當(dāng)時, ， 在區(qū)間上遞減，不合題意 ;

當(dāng)時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意;

當(dāng)時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意;

當(dāng)即時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上單遞增，由上可得，此時必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1， 而由可得，則.

綜上，滿足條件的不存在.……………………………………………8分

（3）設(shè)函數(shù)具備性質(zhì)“”，即在點處地切線斜率等于，不妨設(shè)，則，而在點處的切線斜率為，故有……..10分

即，令，則上式化為，

令，則由可得在上單調(diào)遞增，故，即方程無解，所以函數(shù)不具備性質(zhì)“”.……..14分