Question

如圖甲，一個(gè)正方體魔方由27個(gè)單位（長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度）小立方體組成，把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉(zhuǎn)動(dòng)α，如圖乙，設(shè)α的對(duì)邊長(zhǎng)為x

（1）試用α表示x；
（2）求魔方增加的表面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意得x++=3，
解得x==，α∈（0，），
（2）魔方增加的表面積為S=8×，
由（1）得S=，α∈（0，），
令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，
則S==36（1-）≤36×（1-）=108-72
（當(dāng)且僅當(dāng)t=，即時(shí)等號(hào)成立），
答：當(dāng)時(shí)，魔方增加的表面積最大為108-72．
分析：（1）把魔方中間的一層EFGH-E₁F₁G₁H₁轉(zhuǎn)動(dòng)α，根據(jù)正方體的邊長(zhǎng)為3，可得邊長(zhǎng)被截得的三段長(zhǎng)分別為x，，，進(jìn)而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面積為S=8-，結(jié)合（1）可得S=，α∈（0，），令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，利用分析法可得函數(shù)的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值，其中根據(jù)邊長(zhǎng)被截得的三段長(zhǎng)分別為x，，，用α表示x是解答的關(guān)鍵．