Question

如圖組合體由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁與正三棱錐B-ACD組成，其中，AB⊥BC．它的正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為+1，+1，1．
（Ⅰ）求直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）在線段AC₁上是否存在點(diǎn)P，使B₁P⊥平面ACD．若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 根據(jù)正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積分別為+1，+1，1，從而可確定BA，BB₁的長．以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量，進(jìn)而可利用夾角公式求出直線CA₁與平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）假設(shè)存在，利用與平面ACD的法向量，得方程即可求解．
解答：解：（1）設(shè)BA=BC=BD=a，BB₁=b

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BC、BB₁、BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

∵

∴


∴
∴不存在滿足條件的點(diǎn)P．
點(diǎn)評：本題以組合體為載體，考查線面角，考查線面存在，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．