Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a²＋b²＝0.

 

Answer 1

【答案】

證明見試題解析.

【解析】

試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，.本題充分性是由證明為奇函數(shù)，必要性是由為奇函數(shù)證明.

試題解析：證明充分性：∵a²＋b²＝0，∴a＝b＝0，       2

∴f(x)＝x|x|                  3

∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)        6

必要性：若f(x)為奇函數(shù)，則對一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7

即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8

令x＝0，則b＝－b，∴b＝0，            10

令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0                11

即a²＋b²＝0       12

考點：充要條件