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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+ln(x+1)(a∈R),在x=1處的切線與直線3x-2y+5=0平行.
          (1)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)求證:
          1
          23
          +
          2
          33
          +
          3
          43
          +…+
          n-1
          n3
          <ln(n+1)(n≥2且n∈N).
          分析:(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值,最后證明函數(shù)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求函數(shù)最值;(2)利用(1)中的結(jié)論,即f(x)在[0,+∞)上恒大于或等于零,結(jié)合所證不等式的形式,只需設(shè)x=
          1
          n
          ,即可構(gòu)造兩個(gè)具有不等關(guān)系的數(shù)列,分別求和即可證明所證不等式
          解答:解:(1)由已知f′(x)=3ax2-2x+
          1
          x+1

          ∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線3x-2y+5=0平行
          ∴f′(1)=3a-2+
          1
          2
          =
          3
          2

          ∴a=1
          ∴f(x)=x3-x2+ln(x+1),f′(x)=3x2-2x+
          1
          x+1
          =
          3x3+(x-1)2
          x+1
          >0  (x≥0)
          ∴f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
          ∴[f(x)]min=f(0)=0
          (2)令x=
          1
          n
          .(n∈N*) 則:f(
          1
          n
          )>0
          1
          n3
          -
          1
          n2
          +ln(1+
          1
          n
          )>0
          即:
          n-1
          n3
          <ln(1+
          1
          n

          1
          23
          <ln(1+
          1
          2
          ),
          2
          33
          <ln(1+
          1
          3
          )
          ,…,
          n-1
          n3
          <ln(1+
          1
          n

          1
          23
          +
          2
          33
          +…+
          n-1
          n3
          <ln(1+
          1
          2
          )+ln(1+
          1
          3
          )+…+ln(1+
          1
          n
          )=ln(
          3
          2
          4
          3
          n+1
          n
          )=ln
          n+1
          2
          <ln(n+1)
          ∴不等式成立.
          點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求函數(shù)最值得方法,利用函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式的方法.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案