Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長(zhǎng)（梯形的上底線段與兩腰長(zhǎng)的和）要最小．

（１）求外周長(zhǎng)的最小值，并求外周長(zhǎng)最小時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？

（２）如防洪堤的高限制在的范圍內(nèi)，外周長(zhǎng)最小為多少米？

 

Answer 1

【答案】

（1）外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)堤高為米．

(2)(米)．（當(dāng)時(shí)取得最小值）

【解析】

試題分析：（1），AD＝BC+2×=BC+， ，．

設(shè)外周長(zhǎng)為，則，

   

當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)堤高為米．

(2)設(shè)，則

,是的增函數(shù)，

(米)．（當(dāng)時(shí)取得最小值）

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)模型，求函數(shù)最值。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，利用圖象特征，確定得到周長(zhǎng)的表達(dá)式，在進(jìn)一步求函數(shù)最值過(guò)程中，可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，也可以運(yùn)用均值定理，應(yīng)用均值定理時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”缺一不可。