Question

（本小題滿分14分）

如圖，設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且最小值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離之積恒為1？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在定點(diǎn)為或滿足要求

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則有，         ……1分

                   ……2分

由最小值為得，                    ……3分

∴橢圓的方程為．                                         ……4分

（2）①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為            ……5分

把的方程代入橢圓方程得

∵直線與橢圓相切，∴，

化簡得                                                     ……7分

同理，                                                     ……8分

∴，若，則重合，不合題意，∴                  ……9分

設(shè)在軸上存在點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離之積為1，

則，即，                         ……10分

把代入并去絕對值整理，

或者

前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立

則，解得；                                             ……12分

②當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為和，                ……13分

定點(diǎn)到直線的距離之積為；

定點(diǎn)到直線的距離之積為；

綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)為或                           ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.