Question

（2012•鷹潭模擬）如圖，給定兩個平面單位向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上，且

OC

=x

OA

+y

OB

（其中x，y∈R），則滿足x+y≥

2

的概率為（　　）

• A．

  2

  -1
• B．

  3

  4

• C．

  π

  4

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B點的坐標(biāo)，并設(shè)∠AOC=α，則由

OC

=x

OA

+y

OB

得x，y的值，從而求得x+y，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求滿足條件的角α的范圍，可求

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-

1

2

，

3

2

）
設(shè)∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

1

2

y，

3

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

x- 1 2 y=cosα 3 2 y=sinα

∴

y= 2sinα 3 x= sinα 3 +cosα

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．
∴30°≤α+30°≤150°．
當(dāng)x+y≥

2

時，可得sin（α+30°）≥

2

2

∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，
∴滿足x+y≥

2

的概率P=

105°-15°

120°

=

3

4

故選B

點評：本題是向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，結(jié)合圖形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，容易求出結(jié)果．