Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=

an

an+t

，若b₁，b₂，b₄成等差數(shù)列，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅+a₁₃=34，S₃=9可得關(guān)于數(shù)列首項(xiàng)與公差的方程組，解方程求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．
（2）由b₁，b₂，b₄成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及bn=

an

an+t

，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴a₁+8d=17，2a₁+3d=9，…（2分）
解得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，S_n=n²，…（6分）
（2）由（1）得bn=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

若b₁，b₂，b₄成等差數(shù)列
則2b₂=b₁+b₄…8分
即2×

3

3+t

=

1

1+t

+

7

7+t

…10分
解得t=5…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力和論證推理能力，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．