Question

在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，若AC=BD=a，且AC與BD所成的角為45°，則四邊形EFGH的面積為（　�。�

• A、

  2

  16

  a2
• B、

  2

  8

  a2
• C、

  2

  4

  a2
• D、

  2

  2

  a2

Answer 1

分析：先證明四邊形EFGH為平行四邊形，再證明相鄰的邊相等即得：四邊形EFGH的為菱形且其中一個內(nèi)角為45°，代入面積公式計算．

解答：解：因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且2EH=BD=a．
同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且2FG=BD，2EF=AC=a．
所以EH∥FG，且EH=FG．且∠FEH為異面直線AC與BD所成的角，
所以四邊形EFGH為平行四邊形．
因為AC=BD，
所以EF=EH=

a

2

．
所以四邊形EFGH為菱形．
∵AC與BD所成的角為45°，
∴∠FEH=45°或135°，
∴S=

a

2

×

a

2

×sin45°=

2

8

a²．
故選B．

點評：主要考查了線線平行的證明，三角形的中位線定理及異面直線所成角的定義及應(yīng)用，注意證明菱形常用方法是先證明它是平行四邊形再證明鄰邊相等相等．