Question

已知圓C的方程為x²+y²=4
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A，B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程
（2）過動點M（x，y）作圓的切線，切點為N，若|MN|=|MP|，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當直線l垂直于x軸時；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．（2）將條件|MN|=|MP|，轉(zhuǎn)化為|CM|²-r²=|MP|²可求．

解答：解：（1）（Ⅰ）①當直線l垂直于x軸時，
則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為 (1，

3

)和 (1，-

3

)，其距離為2

3

滿足題意
②若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則 2

3

=2

4-d2

，得d=1，∴1=

|-k+2|

k2+1

，k=

3

4

，故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1
（2）設(shè)動點M（x，y），過M作圓的切線，切點為N，則MN|=

CM2-r2

，∵|MN|=|MP|，∴|CM|²-r²=|MP|²，∴2x+4y-9=0

點評：本題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、軌跡方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題